Задачі для самостійного розв’язування

1. Довести, що для будь-якої формули А в теорії L виконується умова

├.

2. Довести, що для будь-якої формул А, В і С у теорії L виконується умова

├.

3. Довести, що для будь-яких формул А, В у теорії L виконується умова

├.

4. Довести, що для будь-яких формул А, В, С у теорії L виконується умова

├.

5. Довести, що такі формули є теоремами теорії L:

а) ;

б) ;

в) .

6. Довести, що для будь-яких формул , і такі формули є теоремами теорії L :

а) ;

б) ~ .

7. У логічному висловлюванні “Будь-яке висловлювання є хибним” зняти суперечність.

8. У логічному висловлюванні “В одному селі жив перукар. Він голив тих жителів села, хто не голився сам”. Виразити семантику цієї суперечності формальною мовою і записати його за допомогою двох метависловлювань.

9. Довести такі клаузи аксіоматичним методом:

а) ;

б) ;

в) ;

г) , , ;

д) , , , ;

е) , , , ;

є) , , , ;

ж) , , ; .

10. Для заданих легенд побудувати клаузи і довести їх істинність за допомогою конструктивного методу:

а) “Якщо в одному місці щось вибуває, то в іншому щось прибуває і навпаки.” Якщо в космічному просторі є “чорна дірка”, то в неї все провалюється, тобто в її оточенні щось вибуває. Якщо є “біла дірка”, то із неї в навколишній простір повинна прибувати речовина. Якщо є “чорна дірка”, то її неможливо побачити, оскільки вона не випромінює світло. Астроном подивився і нічого не побачив. Отже, “біла дірка” є. Це хибний умовивід. Істинним заключенням є, наприклад, таке: “Якщо є “чорна дірка”, то десь у космічному просторі повинна неодмінно з’явитися речовина.”

б) “Усе живе повинне бути чутливим. Будь-яке матеріальне тіло займає деякий об’єм. Якщо щось займає об’ємний простір і може бути чутливим, то це щось є не що інше, як живий організм. Нехай є щось живе, але не є організмом. Тоді випливає наслідок, що це щось нематеріальне.”

11. Довести істинність (хибність) логічних висловлювань у таких клаузах методом від супротивного:

а)  _____ А	б)  _____	в)   ________	г)  _____ А
д)  _____	є)  ______	ж)  ______	з)  _____ С

                                                                                                                               

12. Кожну із наведених клауз довести методом резолюцій:

а)

б)

в)

г)

д)

Коментарі. У цьому розділі формальна теорія L і теорема дедукції викладені відповідно до [14]. Більш детальне викладення цього матеріалу можна знайти в класичних підручниках, наприклад [12]. У цьому розділі побудова доведень у логіці висловлювань викладена більш удосконалено і наочно порівняно з [8,27], що підтверджується значною кількістю різноманітних прикладів.