ЛЕКЦІЯ 8. ФУРЄ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
Методи обробки зображень (image processing) мають надзвичайно важливе значення в сучасній науці, вони є одними з таких які безперервно розвиваються та вдосконалюються. При цьому під обробкою зображень розуміють не лише поліпшення зорового сприйняття зображень, але й класифікацію об'єктів, що виконується при аналізі зображень.
Області застосування методів цифрової обробки в наш час значно розширюються, витісняючи аналогові методи обробки сигналів зображень. Методи цифрової обробки широко застосовуються в промисловості, мистецтві, медицині, космосі. Вони застосовуються при керуванні процесами, автоматизації виявлення об'єктів, розпізнаванні образів і в багатьох інших. Цифрова передача зображень із космічних апаратів, цифрові канали передачі сигналів зображень вимагають забезпечення передачі все більших потоків інформації.
Формування зображень, поліпшення якості та автоматизація обробки медичних зображень, включаючи зображення, що створюються електронними мікроскопами, рентгенівськими апаратами, томографами тощо, є предметом сучасних досліджень та розробок. Автоматичний аналіз у системах дистанційного спостереження широко застосовується при аналізі місцевості, у лісовому господарстві, наприклад, для автоматичного підрахунку площі вирубок, у сільському господарстві для спостереження за дозріванням урожаю, у розвідці, у системах протипожежної безпеки. Контроль якості виробленої продукції виконується завдяки автоматичним методам аналізу сцен.
Сьогодні важко представити область діяльності, у якій можна обійтися без комп'ютерної обробки зображень. При комп'ютерній обробці зображень вирішується широке коло завдань, таких як поліпшення якості зображень; вимірювання параметрів зображення; спектральний аналіз багатомірних сигналів; розпізнавання зображень; стиснення зображень.
8.1 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є
Комп'ютерна обробка зображень можлива після перетворення сигналу зображення з безперервної форми в цифрову форму. Ефективність обробки залежить від адекватності моделі, що описує зображення, необхідної для розробки алгоритмів обробки. Модель зображення представляє систему функцій, що описують істотні характеристики зображення: функцію яскравості, що відбиває зміну яскравості в площині зображення, просторові спектри й спектральні інтенсивності зображень, функції автокореляції. Канал зображення містить оптичну систему, оптико–електронний перетворювач, аналого-цифровий перетворювач (АЦП) і модуль цифрової обробки сигналів зображення.
При обробці зображень широко використовується аналіз спектрів зображень. Спектр зображення (image spectrum) одержують прямим двовимірним перетворенням Фур'є функції, що описує зображення:
, (1)
Де ωx , ωy – просторові частоти; i=√-1 – уявна одиниця.
Функція exp(-(ωx+ωy))dxdy при фіксованих значеннях просторових частот описує плоску хвилю в площині зображення (x, y) (відповідно до рисунка 8.1).
Рисунок 8.1 – Визначення просторових частот зображення
Формула (1) пов’язує дійсну функцію, що описує яскравість зображення f(x, y) з комплексною функцією частоти – спектром зображення F(ωx,ωy):
(2)
де Re(ωx,ωy) – дійсна частина спектра; Im(ωx,ωy): – уявна частина спектра.
Амплітуда і фаза спектра визначаються за формулами (3) і (4) відповідно:
(3)
(4)
Обернене перетворення Фур’є дозволяє відновити зображення по його спектру:
(5)
Спектральна інтенсивність (spectral intensity) зображення характеризує розподіл енергії по просторових частотах. Вона визначається як квадрат модуля спектра зображення:
(6)
Для її назви використовуються терміни спектральна щільність (spectral density) і енергетичний спектр (energy spectrum).
Енергія зображення визначається як інтеграл енергетичного спектра по просторових частотах. Відповідно до теореми Парсеваля енергія зображення може бути обчислена відповідно до (7):
(7)
8.2 ДИСКРЕТНЕ ПЕРЕВОРЕННЯ ФУР'Є (ДПФ)
Аналогічно до того, як для одновимірного сигналу в часовій області можна знайти його спектральне представлення за Фур'є, можна знайти спектр зображення.
Якщо маємо неперервне зображення 
, то його спектр за Фур'є буде визначатися:
(8)
де 
– просторові частоти, [TEX]\frac{1}{м}[/TEX].
Обернене перетворення Фур'є для зображення:
(9)
Якщо зображення дискретне розмірністю NxM, то аналоги формул (8)-(9) будуть мати вигляд:
(10)
(11)
Тут k,p – номери гармонічних спектральних складових зображення, 
Як і для одновимірного випадку, спектр дискретного зображення є періодичною функцією частот k,p з періодами, які дорівнюють розмірностям зображення: 
для цілих q, c.
Аналогічно до одновимірного випадку, для комплексного спектру зображення можна отримати амплітудний та фазовй спектри:
(12)
(13)
8.3 ПРИНЦИП ФІЛЬТРАЦІЇ У ЧАСТОТНІЙ ОБЛАСТІ
Фільтрація зображень в частотній області полягає у наступному. В двовимірній частотній області задається комплексна частотна характеристика (КЧХ) фільтра 
. Як і для одновимірного випадку, можна створити фільтри нижніх (ФНЧ), верхніх (ФВЧ) частот, смугові (СФ) та загороджувальні (ЗФ) фільтри. Фільтрація зображення еквівалентна проходженню його через відповідний лінійний фільтр.
В частотній області для того, щоб отримати спектр результуючого зображення, необхідно перемножити спектр початкового зображення 
на КЧХ фільтра:
(14)
Для отримання відфільтрованого зображення необхідно виконати обернене перетворення Фур'є.
Традиційна фільтрація в частотній області вимагає виконання наступної послідовності перетворень:
двовимірне дискретне перетворення зображення із просторової області в частотну (наприклад, за допомогою дискретного перетворення Фур'є (10)),
перетворення дискретного спектра сигналу зображення, (14)
зворотне двовимірне дискретне перетворення, що дозволяє відновити корисний сигнал зображення в просторовій області, згідно (11).
Завдання полягає в тому, щоб знайти таку обчислювальну процедуру, що забезпечила б одержання найкращих результатів.
Використання фільтрів для аналізу текстурованих зображень аналогічно спектральному аналізу але має ряд переваг в тих випадках, коли характерні ознаки спектру зображення відомі. Фільтрація дозволяє більш точно розділити сигнал на складові, що відповідають різним частотним смугам.
8.4 ІНВЕРСНА ФІЛЬТРАЦІЯ ЗОБРАЖЕНЬ
Інверсна фільтрація (inverse filtering) широко застосовується в обробці зображень для розв’язання таких задач як відновлення зображень, що вражені шумом, усунення розмиття, покращення контрастності. В задачах розпізнавання об’єктів та образів інверсні фільтри використовують як допоміжні засоби для покращення зображення в цілому перед операцією розпізнавання. Задача лінійної інверсної фільтрації полягає в тому, щоб за допомогою даних вимірювань у вигляді матриці елементів зображення Si,j відновити оригінальну матрицю зображення Ui,j за умови, що матриці зв’язані деяким оператором з імпульсною характеристикою Hm,n розміром MxN і присутній адитивний шум ξm,n з відомою кореляційною характеристикою. Формально задачу можна записати у вигляді рівняння
(15)
Метод розв’язку рівняння (15), що став класичним, дав Н. Вінер, його представлено функцією Matlab deconvwnr. Метод оснований на перетворенні Фур’є. Однак, застосування методу має ряд перешкод:
в більшості прикладних задач неможливо виділити окремо шум та визначити його спектрально-кореляційну характеристику;
визначення спектральної характеристики оригінального сигналу виконується за допомогою операції ділення, що робить метод чутливим до параметрів шуму та точності визначення імпульсної характеристики;
для розв’язання рівняння (15) потрібно знайти оцінку імпульсної характеристики, що є самостійною непростою задачею.
У зв’язку з означеними проблемами часто використовують більш простий підхід до розв’язання рівняння (15), що нехтує складовою шуму. Для знаходження матриці оригінального зображення U використовують метод дискретного перетворення Фур’є (ДПФ). Позначимо оператор ДПФ як Ф(), обернений йому як Ф-1(), матрицю даних зображення як S. Тоді
(16)
де W – функція спектрального вікна, |f|<<1 – функція регуляризації.
Слід відзначити, що розмір імпульсної характеристики, як правило, рівний розміру зображень, тому перетворення ДПФ виконують з використанням всієї множини елементів матриць зображень. Це є причиною того, що метод інверсної фільтрації не застосовують до розв’язання задач розпізнавання об’єктів та аналізу динамічних текстур як основний засіб фільтрації ознак.
8.5 РОЗПІЗНАВАННЯ ОБ’ЄКТІВ НА ОСНОВІ ІНВЕРСНОЮ ФІЛЬТРАЦІЇ
Розглянемо задачу інверсної фільтрації з точки зору ідентифікації динамічних систем і сформулюємо її у формі, що дозволить виконувати фільтрацію ознак динамічних текстур.
Нехай задана двовимірна функція Хевісайда
(17)
зображення текстурованого фону задано в області (i≥0)˄(j≥0) і є відгуком лінійної динамічної систему на збудження виду (17), його можна представити як
(18)
де hm,n – перехідна характеристики системи розміром (P+1)x(Q+1), що значно менша розміру зображення. Поставимо задачу відтворення за допомогою інверсного фільтра з перехідною характеристикою Gm,n сигналу збудження в (18), що є постійною величиною в межах зображення. Тоді
(19)
де Е – константа, ςm,n – відліки шуму, що зв’язані з наближеним характером інверсного фільтра по відношенню до сигналу фону.
Розглянемо даний метод на прикладі, в якості тестового зображення використаємо рис. 8.2. Як видно з рисунка 8.3, зображення практично вільне від зайвих елементів, великі об’єкти не спотворені. В результаті фільтрації втрачено найменший світлий елемент, але виділено темний елемент біля верхньої границі зображення.
Рисунок 8.2. Тестовий рисунок для розпізнавання об’єктів (листків справа внизу) за допомогою інверсної фільтрації
Рисунок 8.3. Результати розпізнавання об’єктів (листки справа внизу) за допомогою інверсної фільтрації
