• Епістемічна логіка
  • 7.1. Основні визначення
  • 7.2. Оператори знання й переконання, їх властивості
  • 7.3. Формальна мова епістемічної логіки

Епістемічна логіка

7.1. Основні визначення

Епістемічна логіка ‒ це розділ модальної логіки, яка досліджує логічні зв'язки висловів, що містить такі поняття, як “вважає” , “сумнівається”,”відкидає”,”знає”,”доказово”,” нерозв'язно”, “спростовно” і тощо. Назва логіки походить від грецького слова “ episteme” ‒ знання . Є два варіанти епістемічної логіки: логіка знання і логіка переконання.

Означення 7.1.1. Епістемічною логікою знання називають логіку, яка займається вивченням міркувань , вихідним терміном яких є “ доказово”, “істинно” і т. п.

Одна з перших логік знання була сформульована австрійським математиком і логіком К. Геделем. До її законів входять такі положення:

1. Якщо висловлювання доказове, воно істинне (довести можна тільки істину, доказів брехні не існує).

2. Логічні наслідки доказового також є доказовими.

3. Якщо щось доказове, то воно доказове, але логічна суперечність недоказова і т. ін.

Іншим прикладом логіки знання може служити логіка істини, що встановлює такі закони:

1.Якщо висловлювання істинне, то не так, що його заперечення також істинне, наприклад, “якщо істинно, що Земля обертається, то не так, що правдиво, ніби вона не обертається”.

2. Кон'юнкція істинна, якщо і тільки якщо обидва висловлювання, що входять до неї, істинні, наприклад, “ істинно, що холодно і йде сніг, тільки якщо істинно, що холодно, і правдиво, що йде сніг”, тощо.

Означення 7.1.2. Епістемічною логікою переконання називають логіку, яка займається вивченням міркувань, вихідним терміном яких є “вважає” , “сумнівається”,”відкидає” і т. п.

У  логіці переконань як початковий зазвичай беруть поняття “вважає” (“переконаний”, “вірить”), через нього визначаються поняття “сумнівається” і  “відкидає”: суб'єкт сумнівається в  чомусь, якщо тільки він  не переконаний ні  в цьому, ні  в протилежному; суб'єкт відкидає щось, якщо тільки він  переконаний у  протилежному.

Серед законів логіки переконань є положення: суб'єкт вважає, що є перше і  друге, якщо і  тільки якщо він  вважає, що є перше, і  вважає, що є друге. Наприклад, “ суб'єкт вірить, що  Марс ‒ планета і  що Місяць ‒ планета, тільки якщо він  вірить, що  Марс ‒ планета, і  вірить, що  Місяць ‒ планета”.

Не можна одночасно вірити і  сумніватися, бути переконаним і  відкидати, сумніватися і  відкидати. Суб'єкт або  переконаний, що  справа йде так ось, або  сумнівається в  цьому, або  відкидає це, наприклад, ” суб'єкт або  переконаний, що  Венера ‒ зірка, або  сумнівається в  цьому, або  відкидає це”. Неможливо бути переконаним одночасно в  цьому і  в протилежному, наприклад, ” не можна вірити як  у те, що астрологія наука, так і  в те, що вона не  є наукою”, і т. ін.

Для  понять ”знає”,” істинно”, “доказово” правильно, що  логічні наслідки відомого також відомі, істинного — істинні, доказового — доказові. Аналогічний принцип для  поняття “переконаний”, що здається протиінтуїтивним, отримав назву парадоксу логічного всезнання. Він  стверджує, що  людина переконана у  всіх логічних наслідках, що випливають з  положень, які він приймає. Наприклад, якщо людина впевнена в  п'яти постулатах геометрії Евкліда, то це означає, що вона приймає і  всю цю  геометрію, оскільки остання  випливає з  них. Однак  це не так. Погоджуючись із  постулатами, людина може не  знати доведення теореми Піфагора, а відтак сумніватися в  тому, що  вона правильна.

7.2. Оператори знання й переконання, їх властивості

Згідно з епістемічною логікою, знання відрізняється від  переконання. Цій відмінності відповідає відмінність між двома варіантами епістемічної логіки - логікою знання і  логікою переконання. Тому інтерпретація понять знання і переконання може бути як особливий випадок застосування епістемічних модальних операторів, які додаються до мови звичайної класичної логіки. У подальшому викладі, щоб уникнути зайвої технічної деталізації, ми використовуватимемо епістемічні оператори без явного посилання на конкретні суб'єкти пізнання при цьому, завжди неявно матимемо на увазі наявність деякого фіксованого суб'єкта. Наприклад, оператор знання Кр означає ‒ "хтось знає, що р" або просто "р відоме" , а оператор переконання Вр означає – "хтось вважає, що р". Іноді разом з операторами знання й переконання вводяться і інші аналогічні епістемічні оператори, наприклад , "сумнівається", "спростовує" і т. ін.

Апарат епістемічної логіки дозволяє ставити й успішно вирішувати завдання виявлення формальних (логічних) властивостей операторів знання і переконання (а отже і відповідних понять), формулювання аксіом, що виражають ці властивості, і встановлення взаємозв'язку між даними операторами та поняттями. При цьому активно задіються результати філософського аналізу понять знання і переконання. Почнемо з оператора переконання. Для цього оператора, додатково до аксіом класичної логіки, можна взяти такі постулати:

В1. (р ® q ) ® (Вр ® Вq) . (Кожен має бути переконаний в істинності всіх наслідків допущень, що приймаються ним).

B2. Bp ® ¬ B ¬ p . (Неможливо одночасно бути переконаним в істинності будь-якого вислову і його запереченні – раціональний суб'єкт не повинен приймати суперечності).

B3. Bp ® BBp . (Якщо хтось вважає, що р, то він також переконаний у тому, що він так вважає).

B4. ¬ Bp ® B ¬ Bp . (Якщо хтось не вважає, що р, то він має бути переконаний у тому, що він так не вважає), де символ ® позначає множину рішень.

Перші два постулати твердять про те, що ми маємо справу не з дескриптивним, а таким, що з раціоналізувало поняттям переконання. Це поняття виражає не фактичні переконання того або іншого конкретного суб'єкта в тому або іншому конкретному випадку, а принципи, яким повинні підлягати раціональні переконання взагалі. Останні два постулати виражають ту обставину, що ми не можемо помилятися стосовно того, в чому ми переконані, а в чому – ні. Суб'єкт завжди має визначеність щодо висловів про власні переконання.

Перейдемо тепер до оператора знання. Для цього оператора зазвичай беруть такі основоположні постулати:

K1. Kp ® p . (Якщо вислів відомий, то він істинний; знання вислову спричиняє його істинність).

K 2. K(р ® q )® (Kр ® Kq). (Якщо відомо, що вислів p спричиняє вислів q, а також відоме p, то відоме і q ).

K3. Kp ® KKp. (Якщо хтось знає якийсь вислів, то він також знає, що він це знає).

У багатьох системах епістемічної логіки діє таке правило виведення, якому повинен підлягати оператор знання. Якщо вислів р є доведеним, то доведеним є і вислів Кр (правило "навішування" оператора знання). Згідно з цим правилом, суб'єкт, що пізнає, знає всі теореми логіки (логічне всезнання). Наступним важливим завданням є встановлення взаємозв'язку між операторами знання і переконань. Цей взаємозв'язок, в основному, фіксується за допомогою такого постулату:

KB1. Kp ® Bp. (Якщо хтось знає, що р, то він також вважає, що р).

Постулати К1 і КВ1 відображають те розуміння, що необхідними умовами знання вислову є як його істинність, так і переконаність у ньому з боку деякого суб'єкта. У деяких системах епістемічної логіки ці умови вважаються також і достатніми, внаслідок чого отримуємо наступне визначення знання:

Визначення 1. Кр U Вр U р. (Хтось знає, що р, якщо і тільки якщо він переконаний, що р і р є істинним).

Незважаючи на те, що з філософської точки зору це визначення є явно неповним, його цілком можна використовувати для цілей логічного аналізу як робоче визначення. Якщо ж увести додатково оператор "обґрунтованості" – Jp, який читається як "р є обґрунтованим", то можемо сформулювати таке визначення знання як обґрунтованого дійсного переконання:

Визначення 2. Кр U Вр U Jp U р. (Хтось знає, що р, якщо і тільки якщо він переконаний, що р і р є істинним, і обґрунтованим).

Перелічені постулати роблять можливим формальний аналіз понять знання і переконання в рамках певної системи аксіом. Для опису та вивчення ситуацій, при яких суб’єкти, знаходячись у загальних умовах, перетворюють свої знання, розроблена формальна мова епістемічної логіки.

7.3. Формальна мова епістемічної логіки

Світ, у якому знаходяться агенти (носії знання), описується його властивостями, наприклад, "сніг білий" ‒ властивість нашого світу. Для позначення різних властивостей різних агентів використовуються пропозиціональні літери мови , яку будемо позначати як .

Цей світ, у якому знаходяться агенти, що моделюються, позначимо такою структурою Кріпке:

,

де ‒ множина можливих станів світу;

‒ описує кожен можливий стан ;

‒ відношення на , які описують знання агентів;

(s) : φ → { істинно, хибно }.

1. Якщо , то агент , знаходячись у стані , буде розглядувати стан можливим. Необхідно відмітити, що розглядувані агенти, як правило, не знають реального стану світу, тобто стану, в якому вони знаходяться .
2. Приклад 7.3.1 Нехай у пісочниці граються 3 дитини. Станом світу для них є інформація про те, що хто із них брудний, а хто чистий. Необхідно графічно побудувати структуру Кріпке можливого стану цих дітей.
3. Розв’язання. Стани дітей будемо позначати набором , де . Наприклад, 010 означає, що стан обличчя другої дитини брудний, а в решти ‒ чистий. У цьому випадку можна обмежитися трьома пропозиціональними літерами , де = 1 означає "в і-ї дитини обличчя брудне". Виходячи із цього графічна структура Кріпке матиме вигляд, наведений на рис. 7.3.1.

Рисунок 7.3.1

На рис. 7.3.1 ребра позначають дітей, а вершини ‒ їхній стан. Наприклад, для другої дитини можливі стосунки на множині можливих станів матимуть такий вигляд: К₂ = {(000,010), (010,000), (100,110), (110,100), (101, 111), (111, 101), (001, 011), (011, 001), (000, 000), (010, 010), (110, 110), (100, 100), (001, 001), (011, 011), (111, 111), (101, 101)}, де пара (000, 010) означає, що якщо всі діти чисті, то друга дитина – брудна, оскільки вона не бачить свого обличчя , все ж таки розглядатиме стан 010 можливим. Описання кожного можливого стану в структурі Кріпке матиме такий вигляд: (001)(р₃) = істинно, (001)(р₁) = хибно і так далі.