Модальна логіка - Модальна логіка
- Модальні логічні числення можна побудувати на основі числень класичної логіки (висловлювань та предикатів), шляхом розширення їх додатковими операторами, що характеризують ту чи іншу модальність. Наприклад, якщо оцінка того, що стверджується в висловлюваннях дається з позицій законів науки, то використовуються модальні оператори “необхідно”, “можливо”, якщо - з позицій пізнання, то - модальні оператори “доведено”, “ спростовано”, якщо - з позицій норм права, то – “обов'язково”, “дозволено”, “заборонено”, якщо - з позицій часу – “раніше”,”пізніше” та інші.
- 6.1. Особливості побудови модальних систем
- Приклад 6.1.1. Наведемо опис модальної системи S1 К.І.Льюїса, побудованої за наведеними вище правилами.
- Розв’язання. Вводимо алфавіт S, до якого входять : 1) p, q, r, … - символи для висловлювань; 2) , , - символи логічних зв’язків; 3) , - символи модальних понять; 4 ), ( - дужки.
- Визначаємо, що є формулами : 1) кожний з символів p, q, r, … є формулою; 2) якщо А та В є формулами, то наступні вирази теж є формулами:
- А – заперечення А; А В – диз’юнкція А і В; А В – кон’юнкція А і В;
- А – обов’язково А; А – можливо А; АВ = А В – матеріальна імплікація; А В = (А (В)) – строга імплікація Льюїса; А В = (АВ)
- (ВА) – матеріальна еквівалентність; А В = (АВ) (ВА) – строга еквівалентність.
- Вводимо аксіоми : А1) p q q p; А2) p q p; А3) p p p;
- А4) (p q) r p (q r); A5) p (p); A6) (pq) (qp) (pq);
- A7) p (pq) q.
- Визначаємо правила виводу : Р1. Правило заміни строго еквівалентним;
- Р2. Будь-які змінні p, q, r, … можна замінити довільними формулами;
- Р3. Введення кон’юнкції : із А, В виводиться АВ; Р4. Modus ponens зі строгою імплікацією: із А і АВ виводиться В.
- Систему S1 побудовано.
- Якщо додати до аксіом системи S1 аксіому А8) (p q) p, то отримаємо систему S2. Взагалі Льюїсом були запропоновані й інші системи модальної логіки, наприклад S3-S5 й інші.
- Відмітимо введення К. І. Льюїсом логіку поняття “строга іплікація” задля усунення парадоксів матеріальної іплікації. Відомо, що в матеріальній імплікації висловлювання АВ істинно в незалежності від В, якщо А - хибно. Чому, наприклад, з того, що 22=5 слідує, що Петров – студент? В строгій іплікації це вже виправлено.
- Але не позбавлена парадоксів й строга імплікація. Для їх виключення Ф. В. Аккерман побудував свою систему модальної логіки. Серед відомих систем існують також системи Лукасевича та інші.
- По відношенню до систем модальної логіки виникають ті ж проблеми, що мають місце в класичній логіці: проблема вирішення, проблема повноти та інші. Для систем Льюїса проблема вирішення розв’язується за допомогою алгебраїчних методів. С. А. Кріпке довів, що в численні одномісних предикатів з доданими модальними операторами проблема вирішення нерозв'язна. Цей результат дуже важливий, тому що він вказує на істотну відмінність модальної логіки від класичної математичної логіки. Доведена також неповнота числень Льюїса в тому сенсі, що в них виводима не всяка істинна формула.
- Основною проблемою модальної логіки є те, що модальні оператори не являються істиннісне-функціональними, тобто істинність формули не є функцією от істинності її складових. Формула “p” може приймати значення істини, навіть якщо p є хибне, а формула “p” буде хибною, навіть якщо p є істинне. Для класичної логіки предикатів формальна семантика була створена, в той час як для модальної логіки її не існувало. Роботи Сола Кріпке дещо розв’язали ці проблеми й ввели нове поняття в модальну логіку – поняття можливого світу. Введення самого цього поняття в наукові праці приписують
- Ґ. В. Лейбніцу, деякі джерела вказують, що поняття можливого світу в наукових дослідженнях з’явилося ще задовго до Лейбніца й повязують з філософом і теологом середньовіччя Й. Д. Скотом.
- 6.2. Семантика Кріпке
- Серед відомих семантичних інтерпретацій модальних логік щонайчастіше застосовується семантика С. Кріпке (також відома як реляційна семантика або семантика фреймів), створена в кінці 1950-х і початку 1960-х років.
- У моделі Кріпке задається множина можливих “світів” (станів), в яких може перебувати об'єкт, а також відношення досяжності на цій множині. При цьому модальний оператор “необхідно” інтерпретується як “істинно у всіх можливих досяжних світах”, а оператор “можливо” - як “істинно хоча б в одному з можливих досяжних світів”.
- Означення 6.1.1. Фрейм Кріпке F або модальний фрейм представляє собою пару W, R, де W є непорожньою множиною, а R є бінарним відношенням на W ( R WW ). Елементи множини W називають вузлами або можливими світами, а R - відношенням досяжності.
- Означення 6.1.2. Моделлю Кріпке M називається пара F, , де F - фрейм Кріпке, - є відношення між вузлами W і модальними формулами, такі, що:
- w A тоді і тільки тоді w A;
- w (A B) тоді і тільки тоді w А і w B;
- w (A B) тоді і тільки тоді w А або w B;
- w (A B) тоді і тільки тоді w A або w B;
- w A тоді і тільки тоді uW якщо w R u, то u A;
- w A тоді і тільки тоді uW виконується w R u і u A.
- Позначення w A читаються так: “ w задовольняє А”, “ А виконується в w”.
- У відповідності з цією семантикою, висловлювання р є необхідно-істинним по відношенню до можливого світу wW, якщо воно істинне в кожному світі, досяжному для w, і р є можливо-істинним, якщо воно істинне в якомусь світі, досяжному для w. Можливість таким чином, залежить від відношення досяжності R, яке дозволяє висловити відносний характер можливості.
- Введене в модель відношення досяжності R дозволяє вести класифікацію модальних логік , на предмет які властивості цих відношень підтримуються в тій чи іншій моделі. Наприклад, система модальної логіки К – не підтримує жодної властивості R; Т – логіка з R, що має властивість рефлексивності; S4 – підтримує рефлексивність та транзитивність R; S5 - підтримує
- еквівалентність R.
- Формально можна уявити як деяку функцію (щонайчастіше її називають оцінкою), що приписує кожній формулі значення істинності по відношенню до кожного світу wW. Підсумком досліджень С. Кріпке стало те, що формули в модальній логіці будуть приймати значення істинності по відношенню до можливих світів.
- Приклад 6.2.1. Представимо, що маємо висловлення p – “Лейбніц займався математикою”. Насправді, Г. В. Лейбніц займався математикою, тому p є істинним по відношенню до “нашого” актуального світу w1 W. В даній моделі (p, w1) – “Істина”.
- Цілком можливо, що Лейбніц не займався би математикою, а був би ювеліром. Отже, існує можливий світ w2 W, в якому p та (p, w2) приймають значення “Хибність”.
- Головна ідея такого аналізу в тому, що дозволяючи значенню істинності формул змінюватись від світу до світу, ми зможемо визначити їх значення істинності так, як це раніш було неможливим.
- 6.3. Теорія “двійників” К. Льюїса
- Теорія “двійників” – альтернативна семантиці Кріпке інтерпретація модальної логіки з кванторами, запропонована Д. Льюїсом в 1968 році. Ідея полягала в тому, що модальні оператори не потрібні для квантифікації для можливих світів, тобто можна позбавитися від модальних операторів перетворивши звичайну модальну логіку в теорію “двійників”.
- ”Нова” теорія заснована на предикатах:
- Wx (x є можливий світ);
- Ipy (p знаходиться в можливому світі y);
- Ap (p є актуальним індивідом);
- Cqy ( q є двійником p).
- Постулати теорії “двійників” наступні:
- П1. Немає нічого за межами того, що є у можливому світі, можливі світи замкнуті;
- П2. Жодного індивіда не існує одночасно у двох можливих світах;
- П3. Чим би не був двійник, він знаходиться в якому-небудь можливому світі;
- П4. Те, у чого є двійник, знаходиться у можливому світі;
- П5. Ні у чого в можливому світі немає двійника в тому ж самому можливому світі, тобто жодний об’єкт в можливому світі неможна назвати двійником чого-небудь в тому ж можливому світі;
- П6. Будь-який об'єкт в можливому світі є власним двійником, єдиним двійником об’єкту в тому ж самому світі буде він саме;
- П7. Деякі можливі світи містять всі актуальні речі;
- П8. Щось є актуальне, тобто існує актуальний світ.
- Приклад 6.3.1. Записати речення р звичайної мови “Могли б існувати літаючі люди” (що є аналогом питання “Чому люди не лають?”) за допомогою модальних операторів на перевести його в мову теорії “двійників”.
- Модальні логічні числення можна побудувати на основі числень класичної логіки (висловлювань та предикатів), шляхом розширення їх додатковими операторами, що характеризують ту чи іншу модальність. Наприклад, якщо оцінка того, що стверджується в висловлюваннях дається з позицій законів науки, то використовуються модальні оператори “необхідно”, “можливо”, якщо - з позицій пізнання, то - модальні оператори “доведено”, “ спростовано”, якщо - з позицій норм права, то – “обов'язково”, “дозволено”, “заборонено”, якщо - з позицій часу – “раніше”,”пізніше” та інші.
- Запитання для самоперевірки
- Задачі для самостійного розв’язування
Розділ 1 Класична математична логіка
Тема 6
